1. Định lí côsin
Trong tam giác \(ABC\) với \(BC = a,\,\,AC = b\) và \(AB = c\). Ta có :
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca.\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.\cos C\end{array}\)
Hệ quả:
\(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}\\\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{2ca}}\\\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}\end{array}\)
2. Định lí sin
Trong tam giác \(ABC\) với \(BC = a,AC = b,AB = c\) và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
3. Độ dài trung tuyến
Cho tam giác \(ABC\) với \({m_a},\,\,{m_b},\,\,{m_c}\) lần lượt là các trung tuyến kẻ từ $A,B,C$. Ta có:
\(\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{2({b^2} + {c^2}) – {a^2}}}{4}\\m_b^2 = \frac{{2({a^2} + {c^2}) – {b^2}}}{4}\\m_c^2 = \frac{{2({a^2} + {b^2}) – {c^2}}}{4}\end{array}\)
4. Diện tích tam giác
Với tam giác \(ABC\) ta kí hiệu \({h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}\) là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh$BC,CA,AB$. $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) là nửa chu vi tam giác; $S$ là diện tích tam giác. Khi đó ta có:
\(S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}\)
\( = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)
\( = \frac{{abc}}{{4R}}\)
\( = pr\)
\( = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \) (công thức Hê–rông)
