1. Kiến thức cần nhớ
– Tính đơn điệu của các hàm số \(y = {\log _a}x\)
- Với \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến.
- Với \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Giải bất phương trình logarit
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
- Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.
- Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.
Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của cơ số \(a\).
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x – 1} \right)\) là:
A. \(\left( { – \infty ;1} \right]\)
B. \(\left( {\frac{1}{2};1} \right]\)
C. \(\left( {0;1} \right)\)
D. \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right)\)
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số \(a > 1\): \({\log _a}f\left( x \right) \ge {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) .
Cách giải:
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x – 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).
Khi đó, \({\log _2}x \ge {\log _2}\left( {2x – 1} \right) \Leftrightarrow x \ge 2x – 1 \Leftrightarrow – x \ge – 1 \Leftrightarrow x \le 1\).
Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(\frac{1}{2} < x \le 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {\frac{1}{2};1} \right]\).
Chọn B.
Chú ý khi giải: Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: \({\log _{\frac{1}{4}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}x – 3 \le 0\) là:
A. \(\left( { – \infty ;\frac{1}{4}} \right]\)
B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
C. \(\left[ {\frac{1}{4}; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { – \infty ; – 1} \right]\)
Phương pháp:
Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.
Cách giải:
Điều kiện: \(x > 0\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{4}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}x – 3 \le 0 \Leftrightarrow {\log _{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}x – 3 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}x – 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}x \le 3 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x \le 2 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4}\end{array}\)
Kết hợp điều kiện \(x > 0\) ta được \(x \ge \frac{1}{4}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\frac{1}{4}; + \infty } \right)\).
Chọn C.
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm
Phương pháp:
- Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.
- Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo \(m\) nghiệm của bất phương trình.
- Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.
Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của \(m\) để bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\).
A. \(m = 4\)
B. \(m = 2\)
C. \(m = 5\)
D. \(m = 3\)
Phương pháp:
- Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.
- Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số \(5\), nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
- Giải điều kiện trên suy ra \(m\).
Cách giải:
Điều kiện: \(m{x^2} + 4x + m > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ‘ = 4 – {m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)
Ta có:
${1 + {{\log }_5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {{\log }_5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)}$
${ \Leftrightarrow {{\log }_5}5 + {{\log }_5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {{\log }_5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)}$
${ \Leftrightarrow 5{x^2} + 5 \ge m{x^2} + 4x + m}$
${ \Leftrightarrow \left( {m – 5} \right){x^2} + 4x + m – 5 \le 0,\forall x \in R}$
${ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m – 5 < 0}\\ {\Delta ‘ = 4 – {{\left( {m – 5} \right)}^2} \le 0} \end{array}} \right.}$
${ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m < 5}\\ { – {m^2} + 10m – 21 \le 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le 3}$
Kết hợp với điều kiện trên ta được \(2 < m \le 3\).
Do đó giá trị lớn nhất của \(m\) thỏa mãn là \(m = 3\).
Chọn D.
