1. Lũy thừa với số mũ nguyên
a) Định nghĩa:
- Lũy thừa với số mũ nguyên dương \(a \in R:{a^n} = a.a…a\) (n thừa số a).
- Lũy thừa với số mũ nguyên âm: \(a \ne 0:{a^{ – n}} = \frac{1}{{{a^n}}};{a^0} = 1\)
- Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \(a > 0:{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\left( {m,n \in Z,n \ge 2} \right)\)
b) Tính chất:
Cho \(a \ne 0,b \ne 0\) và \(m,n\) là các số nguyên, ta có:
- \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\)
- \({a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}\)
- \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}\)
- \({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)
- \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\)
- Với \(a > 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\)
- Với \(0 < a < 1\) thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\)
Hệ quả:
- Với \(0 < a < b\) và m nguyên dương thì \({a^m} < {b^m}\).
- Với \(0 < a < b\) và m nguyên âm thì \({a^m} > {b^m}\)
- Với \(a < b,n\) là số tự nhiên lẻ thì \({a^n} < {b^n}\)
- Với \(a > 0,b > 0,n\) là số nguyên khác 0 thì \({a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b\).
2. Căn bậc n
a) Định nghĩa: Cho số thực b và số nguyên dương \(n\left( {n \ge 2} \right)\). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \({a^n} = b\).
Từ định nghĩa suy ra:
– Với n lẻ và \(b \in R\) có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).
– Với n chẵn và:
- \(b < 0\) thì không tồn tại căn bậc n của b.
- \(b = 0\) thì có một căn bậc n của b là 0.
- \(b > 0\) thì có hai căn trái dấu là \( \pm \sqrt[n]{b}\)
– Căn bậc 1 của số a chính là a.
– Căn bậc n của số 0 là 0.
– Nếu n lẻ thì \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) ; nếu n chẵn thì \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn.
b) Tính chất:
Với \(a \ge 0,b \ge 0,m,n\) nguyên dương, ta có:
- \(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)
- \(\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\left( {b > 0} \right)\)
- \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^p}\left( {a > 0} \right)\)
- \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)
- \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}} (a>0) \)
