Nguyên hàm (phương pháp từng phần)

1. Kiến thức cần nhớ

Công thức nguyên hàm từng phần: \(\int {udv} = uv – \int {vdu} \)

2. Bài toán

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( x \right).h\left( x \right)dx} \)

Phương pháp

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = g\left( x \right)\\dv = h\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = g’\left( x \right)dx\\v = \int {h\left( x \right)dx} \end{array} \right.\) (\(v\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(h\left( x \right)\))
  • Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx} = uv – \int {vdu} \)

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln x\).

Giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Do đó \(\int {\ln xdx} = uv – \int {vdu} = x.\ln x – \int {x.\frac{1}{x}dx} = x\ln x – \int {dx} = x\ln x – x + C\)

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Hàm số logarit

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{a}{{ {ax + b} }}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
  • Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv – \int {vdu} \)

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\ln x$

Giải: Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {x\ln xdx} $.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

$F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2}\ln x – \frac{1}{2}\int {xdx} = \frac{1}{2}{x^2}\ln x – \frac{1}{4}{x^2} + C$

Dạng 2: Hàm số mũ

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} \) với $f(x)$ là một hàm đa thức.

Phương pháp:

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)
  • Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv – \int {vdu} \)

Ví dụ: Tính $I = \int {x{e^x}{\rm{d}}x} $

Giải

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$I = \int {x{e^x}dx} = x{e^x} – \int {{e^x}dx} $$ = x{e^x} – \int {d\left( {{e^x}} \right)} = x{e^x} – {e^x} + C$

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính nguyên hàm \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} \).

Phương pháp:

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = – \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f’\left( x \right)dx\\v = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)
  • Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = uv – \int {vdu} \) hoặc \(\int {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = uv – \int {vdu} \)

Ví dụ: Tính \(I = \int {x\sin xdx} \)

Giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = – \cos x\end{array} \right.\)

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

\(I = – x\cos x + \int {\cos xdx} = – x\cos x + \sin x + C\)

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính nguyên hàm \(\int {{e^{ax + b}}\sin \left( {cx + d} \right)dx} \) hoặc \(\int {{e^{ax + b}}\cos \left( {cx + d} \right)dx} \).

  • Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {cx + d} \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right.\)
  • Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(uv – \int {vdu} \).

Lưu ý:

  • Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần nguyên hàm từng phần.
  • Ở bước 1 ta cũng có thể đổi lại đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.\)

Ví dụ: Tính nguyên hàm $I = \int {\sin x.{e^x}{\rm{d}}x} $

Giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\).

Khi đó \(I = {e^x}\sin x – \int {\cos x{e^x}dx} = {e^x}\sin x – J\)

Tính \(J = \int {\cos x{e^x}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = – \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

Suy ra \(J = {e^x}\cos x + \int {\sin x{e^x}dx} = {e^x}\cos x + I.\)

Do đó \(I = {e^x}\sin x – J = {e^x}\sin x – \left( {{e^x}\cos x + I} \right) \Leftrightarrow 2I = {e^x}\sin x – {e^x}\cos x\)

Vậy \(I = \frac{1}{2}\left( {{e^x}\sin x – {e^x}\cos x} \right) + C\)

Author: Cô Minh Anh