Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b(a < b) quanh trục Ox
Công thức tính: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y=a, y = b(a < b) quanh trục Oy
Công thức tính: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)
Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a;b], 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a;b] quay quanh trục Ox
Công thức tính: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) – {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)
Dạng 4: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng x=a, x=b biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục Ox là S = S(x).
Công thức tính: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)
Khi miền \(D\) giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.
Ví dụ: Cho đường cong \(y = – {x^2} + 1\) và đường thẳng \(y = 0\). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh \(Ox\).
Ta có: \( – {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Thể tích: \(V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {{{\left( { – {x^2} + 1} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^4} – 2{x^2} + 1} \right)dx} \)
$= \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ – 1}^1 = \frac{{16\pi }}{{15}}$.
