I. Các kiến thức cần nhớ
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc $n$ của $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a :$
${a^n} = a.a \ldots ..a$ ($n$ thừa số $a$ ) ($n$ khác $0$ )
$a$ được gọi là cơ số.
$n$ được gọi là số mũ.
${a^2}$ gọi là $a$ bình phương (hay bình phương của $a$ );
${a^3}$ gọi là $a$ lập phương (hay lập phương của $a$.)
Quy ước: ${a^1} = a$; ${a^0} = 1\left( {a \ne 0} \right).$
Ví dụ: \({2^3} = 2.2.2 = 8\)
2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
Ví dụ: \({3^2}{.3^5} = {3^{2 + 5}} = {3^7}.\)
3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số
${a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}$ \(\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)\)
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.
Ví dụ: \({3^5}:{3^3} = {3^{5 – 3}} = {3^2} = 3.3 = 9.\)
4. Mở rộng
a) Lũy thừa của lũy thừa
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)
Ví dụ: \({\left( {{2^3}} \right)^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}\)
b) Lũy thừa của một tích
\({\left( {a.b} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\)
Ví dụ: \({\left( {2.3} \right)^4} = {2^4}{.3^4}\)
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Viết gọn một tích, một phép tính dưới dạng một lũy thừa
Phương pháp giải
Áp dụng công thức: $\underbrace {a.a.a…..a}_{n\,{\rm{thua}}\,{\rm{so}}}$$ = {a^n};$${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$
Dạng 2: Nhân; chia hai lũy thừa cùng cơ số
Phương pháp giải
Áp dụng công thức:${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}\left( {a \ne 0,m \ge n} \right).$
Dạng 3: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa
Phương pháp giải
Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo:
Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi so sánh hai số mũ
Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\)
Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số
Nếu \(a > b\) thì \({a^m} > {b^m}\)
Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh
Ngoài ra ta còn sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu \(a < b;b < c\) thì \(a < c.\)
Dạng 4: Tìm số mũ của một lũy thừa trong một đẳng thức.
Phương pháp giải
-Đưa về hai luỹ thừa của cùng một cơ số.
-Sử dụng tính chất : với \(a \ne 0;a \ne 1\) nếu ${a^m} = {a^n}$ thì $m = n\,\,(a,m,n \in N).$
Dạng 5: Tìm cơ số của lũy thừa
Phương pháp giải
– Dùng định nghĩa lũy thừa:
$\underbrace {a.a…..a}_{n\,{\rm{thừa}}\,{\rm{số}}\,a}$ $ = {a^n}$
– Hoặc sử dụng tính chất với \(a;b \ne 0;a;b \ne 1\)
nếu ${a^m} = {b^m}$ thì $a = n\,\,(a,b,m,n \in N).$
