1. Tập hợp các số nguyên
a. Định nghĩa
– Tập hợp: $\left\{ {…; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;…} \right\}$ gồm các số nguyên âm, số $0$ và các số nguyên dương là tập hợp các số nguyên. Kí hiệu là $Z.$
– Số \(0\) không phải là số nguyên dương cũng không phải số nguyên âm.
b. Trục số
+ Trên trục số: Điểm \(0\) được gọi là điểm gốc của trục số. Chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương (thường được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm của trục số.
+ Điểm biểu diễn số nguyên \(a\) trên trục số gọi là điểm \(a.\)
c. Số đối
+ Các điểm \(1\) và \( – 1;\,2\) và \( – 2;3\) và \( – 3;…\) cách đều điểm \(0\) và nằm về hai phía điểm \(0\) trên trục số nên các số đối nhau là: $1$ và $ – 1;2$ và -$2;a$ và $ – a;…$
+ Số đối của số \(0\) là số \(0.\)
e. So sánh hai số nguyên
– So sánh hai số nguyên $a$ và $b:$ $a < b$ khi và chỉ khi điểm $a$ nằm bên trái điểm $b$ trên trục số.
+ Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số $0.$
+ Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số $0.$
+ Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.
Nhận xét:
Số nguyên \(b\) gọi là số liền sau của số nguyên \(a\) nếu $a < b$ và không có số nguyên nào nằm giữa \(a\) và \(b\) (lớn hơn \(a\) và nhỏ hơn \(b\)). Khi đó ta cũng nói \(a\) là số liền trước của \(b.\)
2. Giá trị tuyệt đối của số nguyên
– Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số nguyên \(a\) là khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số. Kí hiệu $\left| a \right|$.
– Cách tính: $\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a{\rm{ \,\,khi \,a}}\, \ge {\rm{0}}\\{\rm{ – a \,\,khi \,a < 0}}\end{array} \right.$
– Nhận xét:
+ Giá trị tuyệt đối của một số nguyên dương là chính nó.
+ Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó (và là một số nguyên dương)
+ Trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.
+ Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
3. Cộng hai số nguyên cùng dấu
– Cộng hai số nguyên cùng dấu: ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu chung trước kết quả.
+ Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên.
+ Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-“ trước kết quả.
4. Cộng hai số nguyên khác dấu
+ Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng ( số lớn trừ số bé) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
+ Hai số đối nhau có tổng bằng $0.$
5. Tính cất của phép cộng các số nguyên
+ Tính chất giao hoán : $a + b = b + a$
+ Tính chất kết hợp : $\left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right)$
+ Cộng với số $0$ : $a + 0 = 0 + a = a$
+ Cộng với số đối : $a + \left( { – a} \right) = 0$
+ Tính chất phân phối : $a.\left( {b + c} \right) = a.b + a.c$
6. Phép trừ hai số nguyên
Muốn trừ số nguyên $a$ cho số nguyên $b,$ ta cộng $a$ với số đối của $b.$
$a–b = a + \left( { – b} \right)$
7. Qui tắc dấu ngoặc
a. Qui tắc phá ngoặc
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-“ đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc : dấu “+” chuyển thành dấu “-“ và dấu “-“ chuyển thành dấu “+”.
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn được giữ nguyên.
Tổng đại số
Tổng đại số: là một dãy các phép tính cộng, trừ các số nguyên.
Qui tắc hình thành dấu ngoặc
Trong tổng đại số:
+) Khi hình thành ngoặc, nếu ta đặt dấu “-“ đằng trước dấu ngoặc thì tất cả các số hạng ban đầu khi cho vào trong ngoặc đều phải đổi dấu. Dấu “-“ chuyển thành dấu “+” và dấu “+” chuyển thành dấu “-“.
$a – b – c = a – \left( {b + c} \right)$
+) Khi hình thành ngoặc, nếu ta đặt dấu “+” đằng trước dấu ngoặc thì tất cả các số hạng bạn đầu khi cho vào trong ngoặc đều phải được giữ nguyên dấu.
\(a + b – c = a + \left( {b – c} \right)\)
Chú ý: Trong một tổng đại số ta có thể thay đổi vị trí các số hạng kèm theo dấu của chúng.
\(a – b – c = – b + a – c = – b – c + a\)
8. Qui tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” thành dấu “-” và dấu “-” thành dấu “+”.
9. Qui tắc nhân hai số nguyên khác dấu
Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-“ trước kết quả nhận được.
10. Qui tắc nhân hai số nguyên cùng dấu
Muốn nhân hai số nguyên cùng dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “+” trước kết quả của chúng.
+ Nhân hai số nguyên dương nghĩa là nhân hai số tự nhiên khác \(0.\)
+ Nhân hai số nguyên âm ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng.
Nhận xét: Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương
11. Tính chất của phép nhân
Giao hoán: $a.b = b.a$
Kết hợp: $\left( {a.b} \right).c = a.\left( {b.c} \right)$
Nhân với số $1:$ $a.1 = 1.a = a$
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a.\left( {b + c} \right) = ab + ac$
Tính chất trên cũng đúng đối với phép trừ: $a\left( {b – c} \right) = ab – ac$
Chú ý:
+ Nhờ tính chất kết hợp ta có tích của ba, bốn, năm… số nguyên.
+ Khi thực hiện phép nhân nhiều số nguyên, ta có thể dựa vào các tính chất giao hoán và kết hợp để thay đổi vị trí giữa các thừa số, đặt dấu ngoặc để nhóm các thừa số thích hợp.
+ Tích của \(n\) số nguyên \(a\) là lũy thừa bậc \(n\) của số nguyên $a.$
12. Bội và ước của một số nguyên
– Cho $a,b \in Z$ và $b \ne 0.$ Nếu có số nguyên $q$ sao cho $a = bq$ thì ta nói $a$ chia hết cho $b.$ Ta còn nói $a$ là bội của $b$ và $b$ là ước của $a.$
Chú ý:
+ Số $0$ là bội của mọi số nguyên khác $0.$
+ Số $0$ không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
+ Các số $1$ và $ – 1$ là ước của mọi số nguyên.
Tính chất:
+ Nếu $a$ chia hết cho $b$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a$ cũng chia hết cho $c.$
\(a \vdots b\) và \(b \vdots c \Rightarrow a \vdots c\)
+ Nếu $a$ chia hết cho $b$ thì bội của $a$ cũng chia hết cho $b.$
\(a \vdots b\)\( \Rightarrow a.m \vdots b\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ Nếu hai số $a,b$ chia hết cho $c$ thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho $c.$
\(a \vdots b\) và \(b \vdots c \Rightarrow \left( {a + b} \right) \vdots c\) và \(\left( {a – b} \right) \vdots c\)
