I. Các kiến thức cần nhớ
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
* Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}}\)
* Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) ta suy ra:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a – c + e}}{{b – d + f}}\)
Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.
Ví dụ: \(\frac{{10}}{6} = \frac{5}{3} = \frac{{10 + 5}}{{6 + 3}} = \frac{{15}}{9}\)
\(\frac{{10}}{6} = \frac{5}{3} = \frac{{10 – 5}}{{6 -3}}\)
* Mở rộng
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \frac{{ma – nc}}{{mb – nd}}$
Ví dụ: \(\frac{{10}}{6} = \frac{5}{3} = \frac{{2.10 + 3.5}}{{2.6 + 3.3}} = \frac{{35}}{{21}}\)
Chú ý:
Khi nói các số \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,\,b,\,c\) tức là ta có \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\). Ta cũng viết \(x:y:z = a:b:c\)
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.
Phương pháp giải:
* Để tìm hai số \(x;y\) khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số \(\frac{x}{y} = \frac{a}{b}\) ta làm như sau
Ta có \(\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x + y}}{{a + b}} = \frac{s}{{a + b}}\)
Từ đó \(x = \frac{s}{{a + b}}.a;\,y = \frac{s}{{a + b}}.b\) .
* Để tìm hai số \(x;y\) khi biết hiệu $x – y = p$ và tỉ số \(\frac{x}{y} = \frac{a}{b}\) ta làm như sau
Ta có \(\frac{x}{y} = \frac{a}{b}\)\( \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x – y}}{{a – b}} = \frac{p}{{a – b}}\)
Từ đó \(x = \frac{p}{{a – b}}.a;\)\(y = \frac{p}{{a – b}}.b\) .
Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước
Phương pháp:
Giả sử chia số \(P\) thành ba phần \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\), ta làm như sau:
\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \frac{P}{{a + b + c}}\)
Từ đó \(x = \frac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \frac{P}{{a + b + c}}.b\); \(z = \frac{P}{{a + b + c}}.c\).
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp:
Tìm hai số \(x;\,y\) biết $x.y = P$ và \(\frac{x}{y} = \frac{a}{b}\)
Cách 1: Ta có \(\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b}\)
Đặt \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)
Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \)\(\Rightarrow {k^2} = \frac{P}{{ab}}\)
Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).
Cách 2: Ta có \(\frac{x}{y} = \frac{a}{b}\)\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{xy}} = \frac{a}{b}\) hay \(\frac{{{x^2}}}{P} = \frac{a}{b} \)\(\Rightarrow {x^2} = \frac{{Pa}}{b}\) từ đó tìm được \(x\) và \(y.\)
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp:
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Dạng 5: Bài toán về tỉ lệ thức
Phương pháp:
+ Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài
+ Lập được tỉ lệ thức
+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.
