I. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa: Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau từng đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Ví dụ: $\Delta ABC$ $\backsim$ $\Delta A’B’C’$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A’},\,\widehat B = \widehat {B’},\widehat C = \widehat {C’}\\\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{CA}}{{C’A’}}\end{array} \right.\)
Chú ý:
* Tỉ số các cạnh tương ứng \(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{CA}}{{C’A’}} = k\) được gọi là tỉ số đồng dạng của hai tam giác.
Định lí về tạo ra hai tam giác đồng dạng
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Cho $\Delta ABC$, $MN{\rm{//}}BC$$ \Rightarrow \Delta AMN$$\backsim$$\Delta ABC.$
Chú ý: Định lí cũng đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng để tính độ dài cạnh, chu vi, tỉ số đồng dạng, số đo góc…
Phương pháp:
Ta sử dụng định nghĩa và định lý về hai tam giác đồng dạng. Sử dụng định lý Ta-lét và tính chất tỉ lệ thức để tính toán.
$\Delta ABC$ $\backsim$ $\Delta A’B’C’$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A’},\,\widehat B = \widehat {B’},\widehat C = \widehat {C’}\\\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{CA}}{{C’A’}}\end{array} \right.\)
Dạng 2: Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các yếu tố hình học (hai đường thẳng song song, …)
Phương pháp:
Ta sử dụng $\Delta ABC$ $\backsim$ $\Delta A’B’C’$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A’},\,\widehat B = \widehat {B’},\widehat C = \widehat {C’}\\\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{CA}}{{C’A’}}\end{array} \right.\)
Và định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
III. Trường hợp đồng dạng thứ nhất
1. Các kiến thức cần nhớ
Định lý:
Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A’B’C’\) có \(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}}\) (h.1) thì \(\Delta ABC\)\( \backsim\) $\Delta A’B’C’\,\left( {c.c.c} \right).$
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán
Phương pháp: Ta sử dụng các tỉ lệ cạnh và các góc bằng nhau của hai tam giác đồng dạng để tính toán.
Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và các hệ thức liên quan.
Phương pháp: Ta sử dụng định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
IV. Trường hợp đồng dạng thứ hai
1. Các kiến thức cần nhớ
Trường hợp đồng dạng thứ hai: cạnh-góc-cạnh
Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.
Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A’B’C’\) có \(\widehat A = \widehat {A’}\) và \(\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}}\) (h.1)
thì \(\Delta ABC \backsim \Delta A’B’C’\) (c.g.c)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán
Phương pháp:
+ Từ tam giác đồng dạng suy ra các cặp cạnh tỉ lệ và các góc bằng nhau
+ Từ đó tính cạnh và góc
Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng và các hệ thức liên quan
Phương pháp:
+ Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác để chứng minh tam giác đồng dạng
+ Từ đó suy ra các hệ thức cần chứng minh
V. Trường hợp đồng dạng thứ ba
1. Các kiến thức cần nhớ
Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Nếu \(\Delta ABC\) và \(\Delta A’B’C’\) có \(\widehat A = \widehat {A’}\) và \(\widehat B = \widehat {B’}\) (h.1)
Thì \(\Delta ABC \backsim \Delta A’B’C’\) (g.g)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán
Phương pháp:
+ Từ tam giác đồng dạng suy ra các cặp cạnh tỉ lệ và các góc bằng nhau
+ Từ đó tính cạnh và góc
Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng và các hệ thức liên quan
Phương pháp:
+ Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác để chứng minh tam giác đồng dạng
+ Từ đó suy ra các hệ thức cần chứng minh
