1. Các kiến thức cần nhớ
a. Bình phương của một tổng
\({\left( {A + B} \right)^2}\) \(= {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A,\,B\) là các biểu thức tùy ý.
Ví dụ: \({\left( {x + 2} \right)^2} \) \(= {x^2} + 2.x.2 + {2^2} \) \(= {x^2} + 4x + 4\)
b. Bình phương của một hiệu
\({\left( {A – B} \right)^2} \) \(= {A^2} – 2AB + {B^2}\) với \(A,\,B\) là các biểu thức tùy ý.
Ví dụ:
\({\left( {2x – 1} \right)^2}= {\left( {2x} \right)^2} – 2.2x.1 + {1^2} \) \(= 4{x^2} – 4x + 1\)
c. Hiệu hai bình phương
\({A^2} – {B^2} = \left( {A – B} \right)\left( {A + B} \right)\) với \(A,\,B\) là các biểu thức tùy ý.
Ví dụ: \({x^2} – 4 = {x^2} – {2^2} = \left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)\)
d. Lập phương của một tổng
\({\left( {A + B} \right)^3} \) \(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)
Ví dụ: \({\left( {x + 2} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}.2 + 3x{.2^2} + {2^3} \) \(= {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8\)
e. Lập phương của một hiệu
\({\left( {A – B} \right)^3} \) \(= {A^3} – 3{A^2}B + 3A{B^2} – {B^3}\)
Ví dụ: \({\left( {x – 2} \right)^3} = {x^3} – 3{x^2}.2 + 3x{.2^2} – {2^3} \) \(= {x^3} – 6{x^2} + 12x – 8\)
f. Tổng hai lập phương
\({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right) \left( {{A^2} – AB + {B^2}} \right)\)
Ví dụ: \({x^3} + 8 = {x^3} + {2^3} = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)\)
g. Hiệu hai lập phương
\({A^3} – {B^3} = \left( {A – B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Ví dụ: \({x^3} – 8 = {x^3} – {2^3} = \left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Phương pháp:
Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi.
Dạng 2: Tìm \({\bf{x}}\)
Phương pháp:
Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phương pháp:
Sử dụng hẳng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho
Chú ý:
\({\left( {A + B} \right)^2} + m \ge m\,\,;\, \) \(m – {\left( {A + B} \right)^2} \le m\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = – B\)
\({\left( {A – B} \right)^2} + m \ge m\,\,;\, \) \(m – {\left( {A – B} \right)^2} \le m\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\)
Dạng 4: So sánh hai số
Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi và so sánh.
Thông thường ta sử dụng \(\left( {A – B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} – {B^2}\) để biến đổi.
Dạng 5: Rút gọn biểu thức
Phương pháp: Sử dụng hằng đẳng thức và phép nhân các đa thức để khai triển và rút gọn biểu thức
Dạng 6: Tìm \({\bf{x}}\)
Phương pháp: Dùng các hằng đẳng thức và phép nhân các đa thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.
Dạng 7: Tính giá trị biểu thức tại \(x = {x_0}\) hoặc tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp: Dùng hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi biểu thức cho trước
Thay \(x = {x_0}\) vào biểu thức rồi tính giá trị của nó hoặc sử dụng điều kiện của giả thiết.
