1. Bất đẳng thức
Bất đẳng thức là hệ thức có dạng \(a > b\) ( hoặc \(a < b,a \ge b,a \le b\) )
a. Tính chất cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với hai bất đẳng thức đã cho \(a > b \Rightarrow a + c > b + c\)
b. Tính chất nhân cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức
+) Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với \(a > b\) và \(c > 0\)\( \Rightarrow a.c > b.c\)
+) Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Với \(a > b\) và \(c < 0\) \( \Rightarrow a.c < b.c\)
c. Tính chất bắc cầu
Nếu \(a > b\) và \(b > c\) thì \(a > c\)
Chú ý: Bất đẳng thức Cô-si
Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
\(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) với \(a \ge 0;b \ge 0\)
2. Tập nghiệm của bất phương trình
Số \(x = a\) gọi là nghiệm của một bất phương trình nếu ta thay \(x = a\) vào bất phương trình thì được một bất đẳng thức đúng.
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
Bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm.
3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
+ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
+ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Nhắc lại:
\(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ – a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = B\left( x \right)\), ta khử dấu GTTĐ bằng cách xét 2 trường hợp :
– Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \ge 0\\A\left( x \right) = B\left( x \right)\end{array} \right.\)
– Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) < 0\\ – A\left( x \right) = B\left( x \right)\end{array} \right.\)
+) Với phương trình dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = m\) với \(m > 0\), ta có:
\(\left| {A\left( x \right)} \right| = m \Leftrightarrow A\left( x \right) = m\) hoặc \(A\left( x \right) = – m\).
+) Với phương trình dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right|\) ta có:
\( \left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \)\( \Leftrightarrow A\left( x \right) = B\left( x \right)\) hoặc \(A\left( x \right) = – B\left( x \right)\).
