Phân thức đại số

1. Các kiến thức cần nhớ

 Phân thức đại số

Định nghĩa:

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\) , trong đó $A,B$ là những đa thức và \(B\) khác 0.

$A$ được gọi là tử thức (hay tử); $B$ được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Chú ý: 

Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng $1$ .

Ví dụ:

\(\frac{x}{{x + 1}}\) là một phân thức đại số. Số \(2\) cũng là một phân thức đại số dưới dạng \(\frac{2}{1}.\)

Hai phân thức bằng nhau

Với hai phân thức \(\frac{A}{B}\)  và \(\frac{C}{D}\) \(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\) , ta nói

\(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\)  nếu $A.D = B.C$

Tính chất cơ bản của phân thức đại số

+   \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\)  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )

Qui tắc đổi dấu

+ Đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho:    $\frac{A}{B} = \frac{{ – A}}{{ – B}}$

Ngoài ra, ta còn có một số quy tắc sau :

+ Đổi dấu tử số và đổi dấu phân thức:  $\frac{A}{B} =  – \frac{{ – A}}{B}$

+ Đổi dấu mẫu số và đổi dấu phân thức: $\frac{A}{B} =  – \frac{A}{{ – B}}$

+ Đổi dấu mẫu : \(\frac{A}{{ – B}} =  – \frac{A}{B}\)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định.

Phương pháp:

Phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0.\)

Dạng 2: Tìm giá trị của biến số \(x\) để phân thức\(\frac{A}{B}\)  nhận giá trị \(m\) cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)

Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\frac{A}{B} = m\) . Từ đó tìm được \(x.\)

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Dạng 3: Chứng minh hai phân thức bằng nhau. Tìm các giá trị của \(x\) để hai phân thức bằng nhau.

Phương pháp:

Ta sử dụng các kiến thức sau:

+ Với hai phân thức \(\frac{A}{B}\)  và \(\frac{C}{D}\)\(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\), ta nói \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\)  nếu $A.D = B.C$

+  \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )

+ \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\)  ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0.$)

+ $\frac{A}{B} = \frac{{ – A}}{{ – B}}.$

Author: Cô Minh Anh