1. Các kiến thức cần nhớ
Rút gọn phân thức đại số
– Cách biến đổi phân thức thành phân thức đơn giản hơn và bằng phân thức đã cho gọi là rút gọn phân thức.
– Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
Chú ý: Nhiều khi ta cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu bằng việc sử dụng tính chất: \(A = – \left( { – A} \right).\)
Ví dụ: \(\frac{{20{x^2} – 45}}{{{{\left( {2x – 3} \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {4{x^2} – 9} \right)}}{{{{\left( {2x – 3} \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {2x – 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {2x – 3} \right)}^2}}} = \frac{{5\left( {2x + 3} \right)}}{{2x – 3}}.\)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Rút gọn phân thức
Phương pháp:
Để rút dọn phân thức ta tiến hành các bước sau:
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có).
Dạng 2: Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước của biến.
Phương pháp:
Bước 1: Rút gọn phân thức (nếu cần)
Bước 2: Thay giá trị của biến vào phân thức rồi thực hiện phép tính.
Dạng 3: Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức đạt giá trị nguyên.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: Ta biến đổi để đưa phân thức về dạng \(m + \frac{n}{B}\) (nếu có thể).
Bước 3: Phân thức \(\frac{A}{B}\) đạt giá trị nguyên khi \(A \vdots B\) , từ đó tìm được \(x.\)
Bước 4: So sánh với điều kiện để kết luận các giá trị thỏa mãn.
Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của phân thức.
Phương pháp:
Ta biến đổi phân thức để sử dụng được các kiến thức sau:
\({\left( {A + B} \right)^2} + m \ge m\,\,;\) \(m – {\left( {A + B} \right)^2} \le m\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = – B.\)
\({\left( {A – B} \right)^2} + m \ge m\,\,;\) \(m – {\left( {A – B} \right)^2} \le m\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B.\)
