1. Các kiến thức cần nhớ
Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)
Ví dụ: Phương trình \(2x^2-5x+2=0\) có \( \Delta=9>0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_1;x_2\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ 5}}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} = \frac{2}{2}=1\end{array} \right..\)
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
+) Xét phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$
Nếu phương trình có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1,\) nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)
Nếu phương trình có \(a – b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = – 1,\) nghiệm kia là \({x_2} = – \frac{c}{a}.\)
+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$)
Ví dụ:
+ Phương trình \(2x^2-9x+7=0\) có \(a+b+c=2+(-9)+7=0\) nên có hai nghiệm \(x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{7}{2}\)
+ Phương trình \(2x^2+9x+7=0\) có \(a-b+c=2-9+7=0\) nên có hai nghiệm \(x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{7}{2}\)
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}$ và $P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}$.
Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng ${x_1} + {x_2}$ và tích ${x_1}{x_2}$, sau đó áp dụng bước 1.
Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là :
+) $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}= {S^2} – 2P$
+) $B = x_1^3 + x_2^3$
$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} – 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)= {S^3} – 3SP$
+) $C = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} – 2x_1^2x_2^2$
$= {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2}} \right]^2} – 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}= {\left( {{S^2} – 2P} \right)^2} – 2{P^2}$
+) $D = \left| {{x_1} – {x_2}} \right| $
$= \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} $.
+) $E = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2}$ $= {S^2} – 4P $.
Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$.
+) Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \frac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình có $a – b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$, nghiệm kia là ${x_2} = – \frac{c}{a}.$
+) Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.
Dạng 3: Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)$.
Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp : Để tìm hai số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$, ta làm như sau:
Bước 1: Xét điều kiện ${S^2} \ge 4P$. Giải phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ để tìm các nghiệm ${X_1},{X_2}$.
Bước 2: Khi đó các số cần tìm $x,y$ là $x = {X_1},y = {X_2}$ hoặc $x = {X_2},y = {X_1}$.
Dạng 5: Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp : Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\).
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\).
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\).
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.\).
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac < 0\\S < 0\end{array} \right.\).
Dạng 6: Xác định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Dạng 7: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$.
+) Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \frac{c}{a}.$
+ ) Nếu phương trình có $a – b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$, nghiệm kia là ${x_2} = – \frac{c}{a}.$
+) Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.
Dạng 8: Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp: Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)$.
Dạng 9: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp Để tìm hai số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$, ta làm như sau:
Bước 1: Xét điều kiện ${S^2} \ge 4P$. Giải phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ để tìm các nghiệm ${X_1},{X_2}$.
Bước 2: Khi đó các số cần tìm $x,y$ là $x = {X_1},y = {X_2}$ hoặc $x = {X_2},y = {X_1}$.
Dạng 10: Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\).
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\).
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\).
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.\).
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac < 0\\S < 0\end{array} \right.\).
