Lôgarit – Định nghĩa và tính chất

1. Định nghĩa

Với \(a > 0;a \ne 1,b > 0\) thì \({\log _a}b = N \Leftrightarrow b = {a^N}\). Số \({\log _a}b\) được gọi là lôgarit cơ số a của b.

– Không có logarit của số âm, nghĩa là \(b > 0\).

– Cơ số phải dương và khác \(1\), nghĩa là \(0 < a \ne 1\).

– Theo định nghĩa logarit ta có:

\(\begin{array}{l} + ){\log _a}1 = 0;{\log _a}a = 1\\ + ){\log _a}{a^b} = b,\forall b \in R\\ + ){a^{{{\log }_a}b}} = b,\forall b > 0\end{array}\)

2. Tính chất

1. Nếu \(a > 1;b,c > 0\) thì \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c\).
2. Nếu \(0 < a < 1;b,c > 0\) thì \({\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c\).
3. \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\) \( \left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)\)
4. \({\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b – {\log _a}c\) \( \left( {0 < a \ne 1;b,c > 0} \right)\)
5. \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)\)
6. \({\log _a}\frac{1}{b} = – {\log _a}b\left( {0 < a \ne 1;b > 0} \right)\)
7. \({\log _a}\sqrt[n]{b} = {\log _a}{b^{\\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n}{\log _a}b\) \( \left( {0 < a \ne 1;b > 0;n > 0;n \in {N^*}} \right)\)
8. \({\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c \Leftrightarrow {\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}\) \(\left( {0 < a,b \ne 1;c > 0} \right)\)
9. \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}} \Leftrightarrow {\log _a}b.{\log _b}a = 1\) \(\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\)
10. \({\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b\) \(\left( {0 < a \ne 1;b > 0;n \ne 0} \right)\)

Hệ quả:

• Nếu \(a > 1;b > 0\) thì \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow b > 1;\) \({\log _a}b < 0 \Leftrightarrow 0 < b < 1\).
• Nếu \(0 < a < 1;b > 0\) thì \({\log _a}b < 0 \Leftrightarrow b > 1;\) \({\log _a}b > 0 \Leftrightarrow 0 < b < 1\).
• Nếu \(0 < a \ne 1;b,c > 0\) thì \({\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c\).

Logarit thập phân \({\log _{10}}b = \log b\left( { = \lg b} \right)\) có đầy đủ tính chất của logarit cơ số a.