1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa
Cho \(a > 0,a \in R,\alpha \) là một số vô tỉ, khi đó \({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(\left( {{r_n}} \right)\) là dãy số hữu tỉ thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n} = \alpha \).
- Lũy thừa với số mũ nguyên dương thì không cần điều kiện cho cơ số.
- Lũy thừa với số mũ nguyên âm và số mũ 0 thì cơ số phải khác 0.
- Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
b) Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho \(a,b > 0;x,y \in R\) ta có:
- \({a^x}.{a^y} = {a^{x + y}}\)
- \({a^x}:{a^y} = {a^{x – y}}\)
- \({\left( {{a^x}} \right)^y} = {a^{xy}}\)
- \({\left( {ab} \right)^x} = {a^x}{b^x}\)
- \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\)
- \({a^x} > 0,\forall x \in R\)
- \({a^x} = {a^y} \Leftrightarrow x = y\left( {a \ne 1} \right)\)
- Với \(a > 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y\); với \(0 < a < 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x < y\).
- Với 0 < a < b và m nguyên dương thì \({a^m} < {b^m}\); m nguyên âm thì \({a^m} > {b^m}\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính giá trị, rút gọn các biểu thức
Phương pháp:
– Bước 1: Biến đổi các lũy thừa sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
– Bước 2: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:
- Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc n) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.
- Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc \( \to \) lũy thừa (căn bậc n) \( \to \) nhân, chia \( \to \) cộng, trừ.
Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức
Phương pháp:
– Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)
– Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, số mũ thực, căn bậc n.
– Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa.
