Câu hỏi:
Trong tập các số phức, cho phương trình \({{z}^{2}}-6z+m=0,\,\,m\in \mathbb{R}\,\,\left( 1 \right).\) Gọi \({{m}_{0}}\) là một giá trị của \(m\) đẻ phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \({{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}.}\) Hỏi trong khoảng \(\left( 0;20 \right)\) có bao nhiêu giá trị \({{m}_{0}}\in \mathbb{N}?\)
A. \(13.\)
B. \(11.\)
C. \(12.\)
D. \(10.\)
Gợi ý câu trả lời
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
Biện luận để tìm trực tiếp nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}.\) Sử dụng giả thiết để tìm ra giá trị \({{m}_{0}}.\)
Lời giải chi tiết:
Viết lại phương trình đã cho thành \({{\left( z-3 \right)}^{2}}=9-{{m}_{0}}.\)
Nếu \({{m}_{0}}=9\Rightarrow z=3.\) Hay phương trình chỉ có một nghiệm. (Loại)
Nếu \({{m}_{0}}<9\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực \({{z}_{1}}=3-\sqrt{9-{{m}_{0}}},{{z}_{2}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}}.\)
Do
\(\begin{array}{l}{z_1}.\overline {{z_1}} = {z_2}.\overline {{z_2}} \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow {\left( {3 – \sqrt {9 – {m_0}} } \right)^2} = {\left( {3 + \sqrt {9 – {m_0}} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 – \sqrt {9 – {m_0}} = 3 + \sqrt {9 – {m_0}} \\3 – \sqrt {9 – {m_0}} = – 3 – \sqrt {9 – {m_0}} \,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt {9 – {m_0}} = 0 \Leftrightarrow {m_0} = 9\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)
Nếu \({{m}_{0}}>9\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là \({{z}_{1}}=3-i\sqrt{{{m}_{0}}-9},{{z}_{2}}=3+i\sqrt{{{m}_{0}}-9}.\)
Khi đó \({{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{3}^{2}}+{{\left( \sqrt{{{m}_{0}}-9} \right)}^{2}}\)
Do đó \({{m}_{0}}>9\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do bài toán đòi hỏi \({{m}_{0}}\in \left( 0;20 \right)\) nên \({{m}_{0}}\in \left\{ 10;11;….;19 \right\}.\)
Vậy có \(10\) giá trị thỏa mãn.
Chọn đáp án D.
