Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

I. Bài toán đếm

1. Kiến thức cần nhớ

– Số các hoán vị của $n$ phần tử: ${P_n} = n!$

– Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phân tử: $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}} $

– Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = \frac{{A_n^k}}{{k!}}$

– Hai tính chất của $C_n^k$:

Với $k,n \in Z,0 \le k \le n$ thì:

$C_n^k = C_n^{n – k}$
$C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k – 1}$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.
Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.
Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

II. Giải phương trình

1. Hoán vị

Tập hợp hữu hạn $A$ có $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$. Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của $A$ được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Số các hoán vị khác nhau của $n$ phần tử là: $P = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…2.1 = n!$

Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp $3$ bạn vào một bàn có $3$ chỗ ngồi?

Giải

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị khác nhau của $3$ bạn. Vậy số cách xếp là ${P_3} = 3! = 6$.

2. Chỉnh hợp

Xét một tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử $\left( {n \ge 1} \right)$ và một số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Mỗi cách lấy ra $k$ phần tử của $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A$.

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là: $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!}} = n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)…\left( {n – k + 1} \right)$

Ví dụ: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau và khác $0$?

Giải

Mỗi số cần tìm có dạng $\overline {abc} \left( {a,b,c \in \left\{ {1;2;3;…;9} \right\},a \ne b \ne c} \right)$.

Mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập $3$ của $9$. Do đó số các số cần tìm là: $A_9^3 = \frac{{9!}}{{\left( {9 – 3} \right)!}} = 9.8.7 = 504$ số.

3. Tổ hợp

Cho tập hợp hữu hạn $A$ và số nguyên $k$ với $0 \le k \le n$. Mỗi cách lấy ra $k$ phần tử của tập $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử của $A$.

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là: $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = \frac{{A_n^k}}{{k!}}$

(quy ước $0! = 1$)

Một số tính chất: