Phương trình đường thẳng

1. Kiến thức cần nhớ

– Phương trình tham số của đường thẳng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

ở đó \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc dường thẳng và \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là VTCP của đường thẳng.

– Phương trình chính tắc của đường thẳng: \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)\)

ở đó \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là điểm thuộc dường thẳng và \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là VTCP của đường thẳng.

– Đường thẳng \(Ox:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right);\) \(Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right);\) \(Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

– Đường thẳng \(AB\) có \(\overrightarrow {{u_{AB}}} = \overrightarrow {AB} \)

– Đường thẳng \({d_1}//{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố trong phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Sử dụng các lý thuyết về phương trình đường thẳng để tìm điểm đi qua, VTCP,…

Dạng 2: Chuyển đổi các dạng phương trình chính tắc và tham số

Phương pháp:

  • Bước 1: Tìm điểm đi qua và VTCP của đường thẳng trong phương trình đã cho.
  • Bước 2: Viết phương trình dạng chính tắc, tham số dựa vào hai yếu tố vừa xác định được ở trên.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) thì có:

  •  Phương trình chính tắc: \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\left( {a,b,c \ne 0} \right)\)
  • Phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp chung:

  • Bước 1: Tìm điểm đi qua \(A\).
  • Bước 2: Tìm VTCP \(\overrightarrow u \) của đường thẳng.
  • Bước 3: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng biết hai yếu tố trên.

+) Đi qua hai điểm.

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTCP.

Phương trình đường thẳng
+) Đi qua một điểm và song song với một đường thẳng.

Đường thẳng \(d\) qua \(A\) và song song với \(d’\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{u_{d’}}} \)

Phương trình đường thẳng
+) Đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)

Phương trình đường thẳng
Author: Cô Minh Anh