1. Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng
- Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu giá của nó vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Hai véc tơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của \(\left( P \right)\) nếu giá của chúng nằm trong \(\left( P \right)\) hoặc song song với \(\left( P \right)\).
- Nếu \(\overrightarrow n \) là một VTPT của \(\left( P \right)\) thì \(k.\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.
- Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).
2. Phương trình mặt phẳng
- Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT thì \(\left( P \right)\) có phương trình: \(a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) + c\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
- Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\) (\(a,b,c\) không đồng thời bằng \(0\)) thì phương trình \(ax + by + cz + d = 0\) là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\).
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a’x + b’y + c’z + d’ = 0\) có các VTPT lần lượt là \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {n’} = \left( {a’;b’;c’} \right)\). Khi đó hai mặt phẳng:
- cắt nhau nếu \(\overrightarrow n \ne k.\overrightarrow {n’} \)
- song song nếu \(\overrightarrow n = k.\overrightarrow {n’} \) và \(d \ne k.d’\)
- trùng nhau nếu \(\overrightarrow n = k.\overrightarrow {n’} \) và \(d = k.d’\)
- vuông góc nếu $\overrightarrow n .\overrightarrow {n’} = 0$.
Nếu \(a’b’c’d’ \ne 0\) thì:
- \(\frac{a}{{a’}} \ne \frac{b}{{b’}}\) hoặc \(\frac{b}{{b’}} \ne \frac{c}{{c’}}\) hoặc \(\frac{a}{{a’}} \ne \frac{c}{{c’}}\) thì \(\left( P \right),\left( Q \right)\) cắt nhau.
- \(\frac{a}{{a’}} = \frac{b}{{b’}} = \frac{c}{{c’}} \ne \frac{d}{{d’}}\) thì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\)
- \(\frac{a}{{a’}} = \frac{b}{{b’}} = \frac{c}{{c’}} = \frac{d}{{d’}}\) thì \(\left( P \right) \equiv \left( Q \right)\)
- \(a.a’ + b.b’ + c.c’ = 0\) thì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\).
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
- Đặc biệt, nếu điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in \left( P \right)\) thì \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = 0\)
5. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a’x + b’y + c’z + d’ = 0\)
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) là góc có:
$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {a.a’ + b.b’ + c.c’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}$
Góc giữa hai mặt phẳng là \(\alpha \) thì \(0 \le \alpha \le {90^0} \Rightarrow 0 \le \cos \alpha \le 1\).
